ROC 曲线与 AUC 值计算详解

背景

在信号检测理论中，接收者操作特征曲线ROC （receiver operating characteristic curve）是一种坐标图式的分析工具，主要用于

选择最佳的信号侦测模型、舍弃次佳的模型。
在同一模型中设定最佳阈值。

在做决策时，ROC分析能不受成本／效益的影响，给出客观中立的建议。

数十年来，ROC分析被用于医学、无线电、生物学、犯罪心理学领域中，而且最近在机器学习和数据挖掘领域也得到了很好的发展。

ROC曲线解释

一个二分类问题，可以将实例分成正类postive或者 负类negative。但是实际中分类时，会出现四种情况

某一个实例是正类，并且预测结果也为正类，此为真正类(True Positive, TP)
某一个实例是正类，被预测为负类，此为假负类(False Negative, FN)
某一个实例是负类，被预测为正类，此为假正类(False Positive, FP)
某一个实例为负类，并且预测结果也为负类，此为真负类(True Negative, TN)

ROC曲线的纵坐标是真正率(TPR)

$TPR = \frac{TP}{TP + FN}$

用通俗的语言解释就是预测的正例中，实际上也为正的在所有正例中的占比，这个比例自然是越大越好。

ROC曲线的横坐标是假正率(FPR)

$FPR = \frac{FP}{FP + TN}$

用通俗的语言解释就是预测的正例中，实际上为负的在所有负例中的占比，这个比例是越小越好。

这两个指标是互斥的，无法同时达到最优效果。

ROC 曲线示例如下

📢 曲线特殊点

上面曲线中有两个特殊点**(0,0), (1,1)**

其中(0,0)点表示TPR,FPR均为0。此时阈值无为无穷大，所有样本被预测为负类，TP = 0, FP = 0，样本的预测结果只能是TN或者FN，所以TPR=FPR=0。
其中(1,1)点表示TPR, FPR均为1。此时阈值为0，所有样本被与预测为正类，样本的预测结果只能为TP或者FP，TN或者FN均为0，所以TPR = TP / (TP + FN) = 1，FPR同样为1。

绘制ROC曲线

假设已经得出一系列样本被划分为正类的概率，然后按照大小排序，下图是一个示例，图中共有20个测试样本，“Class”一栏表示每个测试样本真正的标签（p表示正样本，n表示负样本），“Score”表示每个测试样本属于正样本的概率。

接下来，我们从高到低，依次将“Score”值作为阈值threshold，当测试样本属于正样本的概率大于或等于这个threshold时，我们认为它为正样本，否则为负样本。

举例来说，对于图中的第4个样本，其“Score”值为0.6，那么样本1，2，3，4都被认为是正样本，因为它们的“Score”值都大于等于0.6，而其他样本则都认为是负样本。每次选取一个不同的threshold，我们就可以得到一组FPR和TPR，即ROC曲线上的一点。这样一来，我们一共得到了20组FPR和TPR的值，将它们画在ROC曲线的结果如下图：

AUC值的含义

AUC值指的是ROC曲线下的面积。

AUC常常被用来作为模型排序好坏的指标，原因在于AUC可以看做随机从正负样本中选取一对正负样本，其中正样本的得分大于负样本的概率。所以，AUC常用在排序场景的模型评估，比如搜索和推荐等场景。

AUC计算方法

在有 $M$ 个正样本, $N$ 个负样本的数据集里。一共有 $M*N$ 对样本（一对样本即，一个正样本与一个负样本）。统计这 $M*N$ 对样本中正样本的预测概率大于负样本的预测概率的个数。

$\frac{\sum I\left(P_{\text {正 }}, P_{\text {负 }}\right)}{M * N}$

其中

$I\left(P_{\text {正 }}, P_{\text {负 }}\right)=\left\{\begin{aligned} 1, & P_{\text {正 }}>P_{\text {负 }} \\ 0.5, & P_{\text {正 }}=P_{\text {负 }} \\ 0, & P_{\text {正 }}<P_{\text {负 }} \end{aligned}\right.$